Post by ct lin

〈數學與失敗：從試錯到發現的必經之路〉 頻道：JOHNSON-MATH ｜ 日期：2026-06-23 在教科書、課堂或是研究論文中，當我們看見一個問題被解決時，往往只呈現了最終正確的答案，卻鮮少展示那些被剪掉的「NG 畫面」。然而，試錯法（Trial and error）其實是解決問題過程中至關重要的一環。那些看似愚蠢、令人尷尬的初步嘗試，往往蘊藏著最豐富的資訊。我們必須擁有嘗試潛在愚蠢點子的自由，因為它們不僅可能意外奏效，更重要的是，它們失敗的方式能提供關鍵線索，指引我們找出真正的解決方案。物理學家尼爾·玻爾（Niels Bohr）曾有一句名言：專家就是在那個狹窄領域中，犯過所有可能錯誤的人。專家之所以顯得勝任，正是因為他們已經用各種 conceivable 的方式搞砸過，從而知道未來如何避免重蹈覆徹。 回顧個人的學術歷程，講者坦承在研究所的前一兩年生產力並不高，花費過多時間在電腦遊戲和剛興起的全球資訊網上。直到面臨那道令人畏懼的「综合考試」（general exam），這是一場長達兩到三小時的口試，需選定三個數學主題接受三位教授的輪番質問。當同學們花費數月進行模擬考與互相測驗時，講者僅準備了幾週，抱著僥倖心態上場。結果可想而知，由於知識膚淺，面對追問時無法給出好答案，題目也越來越簡單，幾乎難以招架。最終能通過考試，純粹是因為唯一有認真準備的那個主題發揮了作用。事後，指導教授溫和但失望地指出，這種不費吹灰之力就能做好數學的日子已經結束，必須學會更系統性地思考、規劃學習，並從錯誤中汲取教訓。這堂課讓講者深刻體悟到，過往的天賦模式有其極限，而適應失敗並從中學習才是關鍵的生活技能。 歷史上的偉大發現，往往源自於「失敗」的實驗。希臘哲學家埃拉托斯特尼（Eratosthenes）的故事便是絕佳範例。他讀到在埃及賽伊尼（Syene）城有一口井，在夏至正午時陽光能直射井底，表示太陽位於天頂。出於好奇，他在同一天於亞歷山大城（Alexandria）的井邊進行驗證，卻發現陽光並非垂直照射，而是呈現一定角度。對多數人而言，這可能意味著原故事是假新聞或實驗失敗；但埃拉托斯特尼卻從這次「失敗」中領悟到地球是曲面的，並利用兩地陽光角度的差異與已知距離，成功計算出地球的大小，誤差僅在 10% 以內。同樣地，青黴素的發現也是源自於實驗室的意外。這些例子證明，失敗往往能帶來極具生產力的成果。 數學與其他實用學科不同之處在於，數學中的失敗成本極低。在工程領域，建造橋樑的失敗可能導致生命危險或鉅額損失；但在數學中，若解方程求 $x$ 的值出錯，只需修正並重試即可。著名數學家弗拉基米爾·阿諾德（Vladimir Arnold）曾說，數學是科學中實驗成本最低的部分。只要有一塊黑板和一點時間，就能隨意嘗試。重點不在於快速或高效地解決問題，而在於享受過程並從中學習。科學家艾薩克·阿西莫夫（Isaac Asimov）也曾指出，科學家最興奮時刻說出的話並非「我發現了」（Eureka），而是「這真有趣」（That's funny）。當事情未按預期發展時，那並非失敗，而是有新事物發生的線索。 大眾常誤以為科學突破來自於長期苦思後的靈光一閃，如同被閃電擊中般瞬間頓悟。然而實際經驗顯示，長期的努力雖然表面上看不見進展，實則在潛意識層面累積了大量成果：排除了無效方法、找到了部分解、建立了與其他主題的連結。最終的突破，往往只是拼圖的最後一小塊，讓所有累積的洞察瞬間貫通，而非突如其來的巨大啟示。當任務失敗時，心理上的自然反應或许是自責或責怪他人，但在數學問題中，更重要的不是分配責任，而是精確找出阻礙該方法成功的具體環節。失敗的具體點往往揭示了正確解決方案應有的面貌。 總結來說，面對數學乃至人生的挑戰，首要原則是不要害怕失敗。避免將失敗歸咎於自己或他人，因為失敗經常提供通往正確答案的線索。關鍵在於釐清什麼行不通以及原因為何。 perseverance（堅持不懈）是成功的關鍵，保持耐心，因為這一切都是過程中不可或缺的一部分。 關鍵概念 試錯法, Trial and error, 尼爾·玻爾, Niels Bohr, 綜合考試, general exam, 埃拉托斯特尼, Eratosthenes, 亞歷山大城, Alexandria, 賽伊尼, Syene, 地球大小測量, 青黴素, penicillin, 弗拉基米爾·阿諾德, Vladimir Arnold, 艾薩克·阿西莫夫, Isaac Asimov, 數學, Mathematics, 科學方法, Scientific method, 靈感頓悟, Eureka moment - End - 影片標題：G: 數學與失敗 | Mathematics and Failure 影片摘要：https://lnkd.in/gPeQ5JBu 影片來源：https://lnkd.in/g5Zg3rtA